El número de oro

Es un número nada fácil de imaginar que convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza. Desde la época griega hasta nuestros días en el arte y el diseño. Es el llamado número de oro o también sección áurea, proporción áurea o razón áurea. Representado habitualmente con la letra griega.

 

La sección áurea es la división armónica de un segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. Así, se establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el total dividido en mayor y menor. Esta forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea.

Aquí hay un ejemplo de lo que es la proporción áurea:

 

 

En conclusión, la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento es el número de oro.

 

El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza

El número áureo aparece en las proporciones de edificios, esculturas, partes de nuestro cuerpo, etc.

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es en el Partenón griego.

 

En la figura se puede comprobar que AB/CD=. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA=.

 

 

 

“El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, se trata de una marca basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.”

 

 

 

 

EL TRIANGULO DE ORO:

Pitágoras fue el que encontró la magia de las matemáticas en esta figura.

 

 

 

 

 

 

 

 

Si combinabas las dos líneas pequeñas eran equivalentes a la tercera línea y en esta línea encontramos la conocida sección aurea, Así mismo la segunda y tercera combinadas son iguales a la cuarta y una vez más tenemos la sección aurea. Con esta figura además podemos encontrar el llamado triángulo de oro que los griegos admiraban.

 El rectángulo de oro que podemos hallar dibujando el triangulo, es una figura magnifica ya que con ella se puede reproducir de manera infinita y todos los rectángulos tienen exactamente la misma proporción y también podemos hallar la espiral mágica.

Los griegos usaron el rectángulo en su arquitectura así como los pintores en sus obras de arte, se dice que todo es proporcional ya que en los caracoles de la playa podemos hallar la espiral mágica y en algunos tipos de flor la estrella de oro.

 

 

 

 

 

 

 

 

Fibonacci, las abejas y las tarjetas de crédito

 

el número áureo aparece en muchos ámbitos de nuestra vida. Se presenta en estos casos:

El número áureo y las tarjetas de crédito

Todas las tarjetas que utilizamos en nuestra vida diaria  ya sea el DNI, la tarjeta de crédito o el carné de cualquier club o asociación, están asociadas al número áureo:

Formula:

 Las tarjetas que usamos comúnmente, están conformadas como un rectángulo áureo, que es un rectángulo en el que se cumple que la proporción entre su lado mayor y su lado menor es el número áureo.

Un rectángulo cualquiera es un rectángulo áureo si al quitarle el mayor cuadrado posible se llega a obtener un rectángulo con la misma proporción entre su lado mayor y su lado menor que el inicial.

Si la proporción entre su lado mayor y su lado menor es igual a la proporción del rectángulo que queda al quitar el mayor cuadrado posible.

La proporción entre los lados del rectángulo mayores   (es decir, ) y la del rectángulo menor es .

Resolviendo esta ecuación obtenemos dos soluciones. Desechando la ecuación negativa nos da de resultado:

La proporción entre el lado mayor y el lado menor del rectángulo inicial es el número áureo.

Si Partimos de un cuadrado  cualquiera. Tomamos un lado, por ejemplo, y calculamos su punto medio, . Unimos ahora este punto  con uno de los vértices del lado opuesto, por ejemplo con . Y ahora trazamos el arco de circunferencia con centro en  y radio  y calculamos el punto donde este arco corta a la recta a la que pertenece el segmento . Llamemos  a este punto. Dibujamos ahora la recta a la que pertenece el lado  y después la recta perpendicular a ésta que pasa por . Estas dos rectas se cortan en un punto, que llamamos . Hecho todo esto, el rectángulo  es un rectángulo áureo.

La sucesión de Fibonacci y las abejas

Si Las abejas macho nacen de un huevo no fecundado y las abejas hembra nacen de uno que sí está fecundado. las abejas macho tienen únicamente una madre y las abejas hembra tienen una madre y un padre una abeja macho 

Sea entonces  el número de antepasados suyos en el nivel  de su árbol genealógico, contándola a ella.

El primer nivel lo forma esta abeja macho solamente, por lo que . Al ser una abeja macho, en el siguiente nivel (el segundo) sólo hay una hembra (su madre), por lo que . Ahora, por ser ésta una hembra, en el nivel justamente anterior hay un macho y una hembra (su padre y su madre), razón por la que . 

Vamos a un nivel  cualquiera y tomemos ahí una de las abejas que lo forman. Pueden darse dos situaciones:

§  Que la abeja escogida sea macho. Entonces de ella tenemos un antecesor (su madre) en el nivel  y después tendremos dos más (el padre y la madre de esta última abeja) en el nivel .

§  Que la abeja tomada sea hembra. Respecto a esta abeja tendremos dos antepasados suyos en el nivel  (su padre y su madre), y en el nivel  tendremos tres más (la madre de ese padre y el padre y la madre de esa madre).

En los dos casos podemos comprender que .

Donde tenemos lo siguiente:

§ 

§ 

§ 

que es precisamente la definición por recurrencia de la sucesión de Fibonnaci, esto es:

siendo  el -ésimo término de la sucesión de Fibonacci.

 

Bibliografía:

http://www.vmaria.pe/alumna/Aula/S2/S2Matematica/Default.htm

http://youtu.be/KXToanste9Ahttp://www.youtube.com/watch?v=7h8dNH9Xnfg&feature=related
integrantes:
luren debernardi  10
romina jimenez 11
maria Fernanda malatesta 12